¿Porqué al número "e" se le llama número natural?

Introducción.

La razón del porqué al número "e" se le llama número natural tiene su origen en la capacidad que posee este para representar ciertos fenómenos dados en la naturaleza. Pero antes de profundizar en el número "e" i para entender mejor el sentido de natural, vamos a ver la relación universal de la inversa del cuadrado de la distancia, una proporción que encontramos tanto en la fuerza originada por los campos, o como de pequeña se hace una imagen a medida que se aleja de nosotros, o como decrece el sonido en la distancia,... de hecho, está relacionada con todo aquello que sea lineal y que tenga que ver con la distancia, es decir, entre dos puntos, llegando a ser una proporción representada dentro de numerosos modelos físicos y matemáticos, un reflejo de la realidad y por consiguiente, considerada como una representación natural, pero en el número "e", el sentido de natural le viene dado por otras características, así que sigamos y veamos cuales son.

El numero "e", que es un numero irracional y contiene infinitos decimales, al igual que la inversa del cuadrado, también guarda una relación directa con lo natural, y entender cual es esta relación es de lo pretende tratar el siguiente artículo, por lo que para intentar mostrársela, voy ha recorrer los pasos que permitieron su hallazgo y dejar así de forma más clara la relación que le permite ser el número natural, ya que lamentablemente, tengo la sensación de que muchos de los numerosos artículos publicados acerca de él suspenden a la hora de establecer y clarificar dicha relación.

Para ello, no voy ha extenderme en demostraciones, sobre todo cuando en Internet está lleno de ellas, sino que intentaré solo mencionar los métodos seguidos por Leonhard Paul Euler"importante: catedrático en Filosofía Natural y fiel seguidor de la física de Newtons desde la óptica de las matemáticas", y llegar a relacionar lo natural con la constante "e".

Origen.

Su origen viene del famoso problema del interés que fue planteado por Jacob Bernoulli, aunque ya con anterioridad, Jonh Napier, había estado trabajando con el en sus tablas logarítmicas sin llegar a concretarlo. Finalmente, fue Leonhard Euler quien le supo ver todo su potencial, extraerlo de la aritmética y aplicarlo a la geometría. Pero no avancemos acontecimientos y vayamos paso por paso, así que comencemos por ver en que consiste el problema aritmético del interés.

Es un problema donde se plantea como se incrementa el beneficio obtenido en un préstamo a un año y en como el interés acumulado crece en distinta proporción a medida que se divide el periodo en intervalos cada vez más pequeños, en un intento de capitalizar lo antes posible el interés y sacar el máximo beneficio. El problema parte del periodo global e inamovible de 1 año. Cuando solucionamos el problema podemos ver como a medida que se incrementan len numero de intervalos, el beneficio obtenido de aplicar el interés y capitalizarlo va disminuyendo gradualmente, siendo finalmente el capital más el benefició acumulado: "e = 2,71828182845904523536028747..." es decir, que "e" se convierte en el límite de la función cuando n tiende a infinito. 

Para mi, lo que más importa de este ejemplo no es lo que se resalta en la mayoría de explicaciones como la existencia de un límite aritmético al tratarse de una serie convergente, que es muy importante, sino que lo más importante para mi es que hemos representado un crecimiento constante y continuado de alguna cosa, en este caso del capital, durante todo el intervalo de tiempo que dura el año, es decir, un crecimiento de manera continuada e ininterrumpida, tal y como ocurre en la naturaleza, y que dicho crecimiento exponencial viene limitado en un valor "e".

Veamos un breve resumen de los pasos seguidos para hallar la solución del problema:

Primero se calcula un interés anual del 100% a 1 año ( 1 + 1) para poder comparar con demás supuestos.

1 + 100% de 1 = 2

En el segundo caso, dividimos el año en dos periodos y aplicamos el mismo interés pero ahora de manera semestral, de manera que el interés aplicado en el segundo semestre es sobre la suma del capital más el interés generado durante el primer semestre (1+ 1/2)., siendo el resultado 2,25.

La siguiente vez, lo hacemos por cuatrimestres dividiendo el periodo en tres intervalos y volvemos a realizar el mismo cálculo: 2,37.

Y así sucesivamente hasta llegar a dividir el año en infinitos intervalos, viendo como el crecimiento del capital va disminuyendo a medida que añadimos intervalos, hasta hallar que la suma total de la serie nos da el número "e".

∑ (1 + 1/n)ⁿ

siendo "e" el limite de la misma entre n= 0 y el infinito.

y que también se puede representar mediante factoriales como:

y gráficamente donde "e" es la asíntota vertical de la función.

e=1+11+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯, es decir , e=∑∞n=01n!

Otras de las series más populares por su relación con el número pi estudiadas por Euler y que a mi parecer forma parte del camino recorrido por el para establecer la naturaleza del numero "e" fueron:

La suma de los inversos de los números naturales elevados a n:

∑ (1 + 1/2^n) = 2

La suma de los inversos de los cuadrados de los números pares:

La suma de los inversos de los cuadrados de los números impares:

La suma de todos los inversos de los cuadrados:

∑(1 + 1/n^2) = 1,6449 = (Pi^2)/6

Quiero resaltar una de las series que en algunos ámbitos es atribuida a Euler de manera errónea, y es la división de los productos de los números naturales pares entre los impares, o dicho también el cuadrado de los números pares entre el cuadrado de los números impares:

Esta serie en realidad fue hallada por Johannis Wallis, fundador de la Royal Society, quien había hallado esta fórmula para hallar el número Pi representándola como:

Curiosamente, pueden ver que en dicha fórmula también podemos hallar rastros de la proporción universal del cuadrado de la distancia representada en cuadrados numéricos tanto en el numerador (pares) como en el denominador (impares), así que de alguna forma, dicha proporción "1/x^2" y su inversa "x^2" esconden una relación entre la aritmética y la geometría, y es esa relación la que para mi, Euler supo encontrar, comprender y expandir con "e" en el universo del conocimiento.

*Anotaciones de Euler:

      

Así, de algún modo, todas las series convergentes están relacionadas con el número pi al tratarse de una curva que tiende desde un punto definido hacia otro, cosa que podemos intuir claramente cuando colocamos y sumamos cuatro áreas de una misma función convergente a medida que giramos el plano 90 grados, obteniendo una imagen que tiende por lo general a ser ovalada, es decir, que el área de la función guardará una relación directa con pi^2.

Para mostrarlo, he cogido una gráfica de una función convergente y la he ido girándola 90 grados en un cortar y pegar para mostrar como la imagen resultante se asemeja a una elipse.

El siguiente paso dado por Euler en su búsqueda de encontrar la constante natural e-exponencial fue hallar la función exponencial donde su derivada fuese si misma. Poniéndome en su lugar, todo me hace pensar que la idea le surgió del estudio de las series exponenciales convergentes y divergentes, hallando y clasificando cuales eran convergentes y cuales divergentes hasta comprender como en función de la base, una misma serie podría ser convergente y divergente, por lo que se debió plantear cual seria el número a partir del cual, dicha convergencia y divergencia fuesen la misma cosa, es decir, donde una serie exponencial dejaría de ser convergente y pasaría a ser divergente.

En la siguiente imagen de mis apuntes, recojo la progresión que hizo Euler para encontrar la función que fuese igual a su derivada, de manera que su crecimiento fuese continuado y en todas direcciones al ser el ritmo de cambio la propia función exponencial. Como he mencionado con anterioridad, existen múltiples vídeos y documentos en Internet que explican todo el proceso, por lo que no lo voy ha exponer más aquí.  Lo más importante para mi es que entiendan como Euler, mediante la búsqueda de la constante que hiciese que la función exponencial fuese igual a su derivada, se dio cuenta que estaba representando aritméticamente una de las leyes mas importantes del universo, la conservación del momento, movimiento, energía, ... y es que la formula de Euler puede representar  fielmente tanto la manera que tiene la energía de propagarse siempre a velocidad constante y en todas direcciones disminuyendo sólo su cantidad, como cualquier otro fenómeno dado en la naturaleza que tenga un crecimiento exponencial constante y continuado, como por ejemplo la vida en su renovación celular, el crecimiento demográfico,... aunque en estos casos i a diferencia de la propagación de la energía, la cantidad del momento se renueva a cada momento conservándose íntegramente en su origen al darse una sustitución, y es por ello precisamente y sus muchas coincidencias con fenómenos naturales que el número "e", ha adquirido el sobrenombre de número natural dentro de las matemáticas. 

Así, el numero "e" nos está representando la propagación exponencial a ritmo constante de cualquier cosa en el tiempo gracias al límite (entre convergente y divergente) que supone el propio número "e" para la función exponencial, pudiendo aplicarse para modelar la expansión en todas direcciones, tal y como ocurre en numerosos fenómenos naturales. Esta característica hace que la función también pueda representar ondas mediante la participación de los números complejos, transformaciones como el crecimiento demográfico, la disipación de la energía, el tiempo, la superposición de campos,  de energía o qualquier otro tipo de superposición que precise de un límitepara producirse,...  en definitiva, cualquier cosa que se expanda en el universo de manera continuada, en todas direcciones y a velocidad constante con crecimiento exponencial, guardando de este modo una relación directa con la naturaleza física más expansiva del universo, del mismo modo en que lo hace el propio Universo en base a "e con su expansión espacial acelerada, y es que como ya les he comentado con anterioridad. en su esencia se trata una cuestión geometrica y la manera de hacer.

Más tarde, con la aplicación de los números complejos, sus conclusiones le elevarían a la posición que justificadamente se ha ganado dentro de los grandes Maestros de la Física y la Matemática, pero esta cuestión más compleja y cíclica supondría escribir otro artículo, y creo que lo van ha encontrar y entender de sobras en cualquier portal como la Wikipedia.

También pretendía en un principio hablarles del estudio de las series infinitas que permiten alcanzar más rápidamente el numero pi realizado por parte de Rāmānuja Āchārya, quien subiéndose a una escalera de manera mucho más que inteligente, amplio de una manera sorprendente creando herramientas y estrategias muy útiles para la computación debido al ahorro de tiempo y recursos que suponen su aplicación, relaciones que debido a mi incapacidad para relacionarlas, las percibo más como complejas herramientas que no alcanzo comprender como funcionan, sin que por ello no las deje de admirar.

Les dejo algunas de ellas, por si se quieren entretener en la búsqueda.

Nota final.

Espero haberles dado una explicación lo suficientemente comprensible del origen y la naturalidad del numero "e" y de lo que representa este en todos los diferente mundos del conocimiento: geometría,  aritmética,  física,  química,  banca, ... , pues lo he hecho lo mejor que he podido o sabido. Aprovecho para mencionar todos los trabajos que he ido realizando en diferentes blogs sobre campos, inteligencia natural, superposición,... de los cuales pueden encontrar enlaces directos en mi perfil de Google, y espero que no hayan resultado del todo una perdida de tiempo y acaben por encontrar alguna utilidad, así que sin más, me retiro sin irme, un poco cansado de pensar soñando sin obtener más que mi placer personal a cambio, que es lo que siempre me pasa por no tener ningún título que pueda avalar mi trayectoria ni me permita formar parte de ninguna comunidad, salvo de la generalizada humanidad y su cultura popular.

Finalmente, mil gracias a toda la gente que comparte conocimiento libremente, pues son ellos los que me han proporcionado el sendero para pasear por el fascinante camino de la ciencia.